Une équation donne souvent une seule réponse. Une inéquation, elle, ouvre la porte à une infinité de valeurs possibles. Trouver l’ensemble de solutions d’une inégalité revient à identifier tous les nombres qui la vérifient, puis aux exprimer sous une forme claire : un intervalle, une union d’intervalles ou une zone colorée sur un graphique. Voici comment y parvenir, étape par étape, du cas le plus simple aux situations qui combinent plusieurs inéquations.
Pourquoi une inéquation ne se résout pas comme une équation
Avec une équation du type 2x + 1 = 5, on isole x et on obtient une valeur unique. Avec une inéquation comme 2x + 1 < 5, le résultat n’est plus un nombre, mais un ensemble de nombres qui vérifient l’inégalité.
Ici, toutes les valeurs de x strictement inférieures à 2 conviennent. On écrit cet ensemble sous forme d’intervalle : ] -∞ ; 2 [. Le crochet ouvert signifie que 2 lui-même n’est pas inclus.
Cette différence de nature entre solution unique et ensemble de solutions est le premier point à saisir. Tant qu’on raisonne en cherchant « le » nombre, on passe à côté de la logique des inéquations.
Résoudre une inéquation du premier degré : la méthode concrète
La résolution ressemble à celle d’une équation, avec une règle supplémentaire à retenir absolument. Prenons 3x – 7 ≤ 2x + 5.
- On regroupe les termes en x d’un côté : 3x – 2x ≤ 5 + 7, soit x ≤ 12.
- L’ensemble de solutions est l’intervalle ] -∞ ; 12 ].
- Sur une droite graduée, on place un point plein sur 12 (il fait partie des solutions) et on colorie vers la gauche.
Vous avez remarqué que le sens de l’inégalité n’a pas changé ? C’est normal : on n’a fait qu’additionner et soustraire.
Le piège de la multiplication par un nombre négatif
Considérons maintenant -2x ≤ 6. Pour isoler x, on divise par -2. Diviser par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité. On obtient x ≥ -3, soit l’intervalle [ -3 ; +∞ [.
Oublier cette inversion est l’erreur la plus fréquente. Une astuce : avant de diviser, vérifiez le signe du coefficient devant x. S’il est négatif, retournez le symbole d’inégalité.
Tableau de signes et inéquation produit
Quand l’inéquation contient un produit de facteurs, par exemple (x – 1)(x + 3) > 0, isoler x directement ne fonctionne plus. On passe par un tableau de signes.
Le principe : chaque facteur s’annule en une valeur précise (ici 1 et -3). On place ces valeurs sur une ligne, puis on détermine le signe de chaque facteur dans chaque intervalle. La dernière ligne donne le signe du produit selon les intervalles.
Pour (x – 1)(x + 3) > 0 :
- x – 1 est négatif avant 1, positif après.
- x + 3 est négatif avant -3, positif après.
- Le produit est positif quand les deux facteurs ont le même signe : sur ] -∞ ; -3 [ et sur ] 1 ; +∞ [.
L’ensemble de solutions s’écrit donc ] -∞ ; -3 [ ∪ ] 1 ; +∞ [. Le symbole ∪ signifie « union » : on réunit deux morceaux distincts de la droite des nombres.
Inéquation quotient : même logique, un détail en plus
Pour une inéquation du type (x – 2) / (x + 4) ≥ 0, on construit le même tableau de signes. La différence : le dénominateur ne peut jamais valoir zéro. Ici, x = -4 est exclu de l’ensemble de solutions, même si le quotient change de signe à cet endroit. On utilise un crochet ouvert ou une valeur interdite dans le tableau.
Combiner plusieurs inégalités : intersection et union d’intervalles
Certains exercices demandent de résoudre un système de deux inéquations simultanées. Par exemple : x + 1 > 0 et 2x – 6 < 0.
On résout chaque inéquation séparément. La première donne x > -1, la seconde x < 3. Les valeurs qui satisfont les deux conditions à la fois se trouvent dans l’intersection des deux intervalles : ] -1 ; 3 [.
Graphiquement, on colorie les zones correspondant à chaque inéquation sur une droite graduée. La partie où les deux colorations se superposent représente l’ensemble de solutions du système.
Si le problème demande que l’une ou l’autre inéquation soit vérifiée (pas les deux obligatoirement), on utilise l’union. Cette distinction entre « et » (intersection) et « ou » (union) change radicalement le résultat.
Représentation graphique des inéquations à deux variables
Avec une inéquation comme y ≤ 2x + 1, on quitte la droite graduée pour le plan cartésien. La démarche suit trois temps.
D’abord, on trace la droite y = 2x + 1 comme s’il s’agissait d’une équation. Cette droite s’appelle la droite frontière. Ensuite, on regarde le symbole : ≤ inclut l’égalité, donc la droite est tracée en trait plein. Avec un symbole strict (<), la droite serait en pointillés.
Enfin, on choisit un point test (le plus simple : l’origine, si elle n’est pas sur la droite). On remplace x et y par ses coordonnées. Si l’inégalité est vérifiée, on colorie le demi-plan qui contient ce point. Sinon, on colorie l’autre côté.
L’ensemble de solutions n’est plus un intervalle sur une droite, mais une région entière du plan. Quand on superpose plusieurs inéquations à deux variables, la zone commune forme ce qu’on appelle en optimisation la région réalisable.
Chaque type d’inéquation (premier degré à une variable, produit, quotient, deux variables) demande son propre outil : manipulation algébrique, tableau de signes ou représentation graphique. Le fil conducteur reste le même : on cherche non pas un nombre, mais tous les nombres (ou tous les couples de nombres) qui rendent l’inégalité vraie. Exprimer ce résultat sous forme d’intervalle, d’union d’intervalles ou de zone colorée, c’est maîtriser le langage des ensembles de solutions.